特性方程式 an+1とanを同じαで置く理由

特性方程式を勉強していると

なんでa_n+1とa_nは全く違くのに、同じ「α」で置くの？

と疑問に思ったことはありませんか？

「確かに、同じαで置けば答えは出るけど・・・」

と思っている人は多いはずです！！

実際、私もその中の一人でした笑

そんな私が特性方程式の「なんで？」を解決した話を紹介します！

疑問が晴れると勉強がとーーってもはかどります！

 

結論からお話ししますと・・・

実は「結果論」なんです！

例えば

 a_n+1＝３a_n－２

という式があるとします

この式の３＝ｐ、－２＝ｑとすると

a_n+1＝ｐa_n＋ｑ・・・①

という式に変換することができます

また

 a_n+1＝３a_n－２の右辺を「３」でくくると

 a_n+1＝３（a_n－１）＋１

 a_n+1－１＝３（a_n－１）・・・②

という式ができます

②の式の３＝ｐ、１＝αとすると

 a_n+1－α＝ｐ（a_n－α）

移項や展開をして式を整えると

 a_n+1＝ｐa_n－ｐα＋α

 a_n+1＝ｐa_n＋（－ｐα＋α）・・・③

という式に変換することができます

①のa_n+1＝ｐa_n＋ｑと、③の a_n+1＝ｐa_n＋（－ｐα＋α）の式はどちらも

「a_n+1＝３a_n－２」の式からｐやαを使って変換しているだけなので、同じ式なのが分かりますか？？

①と③を見比べると

a_n+1＝ｐa_n＋ｑ・・・①

 a_n+1＝ｐa_n＋（－ｐα＋α）・・・③

となるため

ｑ＝－ｐα＋α・・・③

という式が作れるのです！

そして③の式を整理すると

α＝ｐα＋ｑ・・・④

という式が作れます

ここで①と④の式を見比べてみると

a_n+1＝ｐa_n＋ｑ・・・①

α＝ｐα＋ｑ・・・④

と教科書に載っている公式と同じ形が導き出されるのです！

つまり

• a_n+1＝ｐa_n＋ｑの右辺を「ｐ」でくくってわかりやすい形にしよう！

a_n+1＝３a_n－２でいう

• a_n+1＝３a_n－２の右辺を「３」でくくってわかりやすい形にしよう！

とした結果・・・

偶然a_n+1とa_nが一致したから、「a_n+1＝α、a_n＝α」と置くことができるんです！！

 

「なるほど！！」と思いませんでしたか？？

「理解したぞ！」という方は、今から特性方程式の問題を解いてみてください！

前とは違う視点から問題が解けるはずです

そして同じ疑問を持っている友達に是非教えてみてください！

教えることであなたの理解度もぐーんと深まります！

数学克服への第一歩です！！

「∑」の意味を知っていますか？？

皆さん「∑」の授業を受けたことありますか？？

私は初めて「∑」の授業を聞いた後

「ｋって何？？ｎって何？？

なんかあのへんな形した∑って何？？」

と思いました笑

とにかく授業を聞いても

まーーーったくわかりませんでした

結局宿題もほとんど白紙の状態で出したのを覚えています

そんな私が「∑」を理解した話をしたいと思います！

この話を理解することによって

「∑」の問題がスラスラ解けるようになり、

「∑」って意外と簡単じゃん！

と思えるようになります

あなたは「∑」の意味を知っていますか？？

「∑」は英語の「sum」の頭文字「ｓ」

を取ってできた記号なんです

つまり「∑」は「足し算」という意味なんですよ！

なるほど！足し算をすればいいんですね！

と思ったのも束の間、

「kとかnとかの記号ってどういう意味？

なにを足し算すればいいの？」

となりますよね・・・

ここからは具体的な数字を使って説明していきたいと思います！

例えば

「１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０」

の全部数を足し算してください

という問題が出たときにあなたはどう解きますか？？

今回は数が少ないので

順番に足していっても簡単に解けると思います

でも

「１から１００までの全部の数を足し算してください」

となった時、ちょーめんどくさいですよね・・・

そんなとき

１＋１００＝１０１

２＋９９＝１０１

３＋９８＝１０１

　・

　・

　・

５０＋５１＝１０１

という法則を見つけることができると

「１０１が５０セットあるじゃん！

５０×１０１＝５０５０」

と解くことができるんです！

つまり

１から１００までの足し算を求めたかったら

「（１００×１/２）×（１００＋１）

　＝　　５０　　　×　　１０１　　　」

と出せばいいのです！

とすると

　　ｋ　の公式である

k=1∑n​

　１/２ｎ（ｎ＋１）と

（１００×１/２）×（１００＋１）

の形が似ていると思いませんでしたか？？

ここで何が言いたかったのかというと

　　ｋ　というのは

k=1∑n​

∑の下にあるK＝１というのは

「１から」

∑の上にあるｎというのは

「 ｎまで」

今回でいうと１００まで

「∑」してください

つまり「足し算してください」

という意味になるのです！

どうです？？少しは分かりましたか？？

この知識を使って

今から∑の問題を解いてみてください！

人は

２０分後には４２％

１時間後には５６％

１日には７４％のことを忘れてしまいます

なので今すぐやらないと忘れてしまいます

数学克服への第一歩です！

数学嫌いがやるべきこと

皆さん数学は好きですか？？

 即答で「嫌い！」と答える人は

算数の頃から苦手意識がある人が多いと思います

「算数の頃から点数が低かったんだから

数学で高得点なんてとれるわけないじゃん」

「数学なんて才能だろ・・・」

と諦めているあなた！

実は、ある日を境に

楽しく勉強できるようになる方法があるのです！

これから話す方法は

「誰でも」「すぐに」

実践できる方法です！！

もし、あなたがすぐに行動に移せるならば・・・

問題がスラスラ解けるようになりますし

テストの点数だって上がります！

 しかし

「今日は疲れたから明日やろー」

と後回しにしてしまう人は

数学が嫌いなままですよ？？

私の友人の中に

「算数が嫌いなんだから

数学なんてもっと嫌いだ！」

という人がいました

典型的な数学嫌いですよね笑

そのため、その友人は

数学のテストで毎回赤点ギリギリ

たまーに赤点回避できずに

赤点補習に行ったりもしてました笑

そんな友人が

学年末テストで数学87点を取ったのです！

しかもクラス3位！

その頃はまだ1年生だったので

文系クラス、理系クラスと分かれていませんでした

つまり、数学が得意な子がクラスにいたのに3位ですよ！？

テストが返された後、友人は

「数学って解けると楽しいね！！」

と満面の笑みで私に伝えてくれました！

「数学きらーい、わかんなーい」

が口癖だった友人から

そんな言葉が出てくるなんて！？

と思うと同時に

点数負けてちょっぴり悔しかったです

つまり数学って問題が解けると

とーーーーっても楽しいんです！！

そんな友人が

テストの向けて密かにやっていたこととは・・・

ズバリ復習です！！

実はその友人、

前回のテストで赤点を取ってしまいました

「１年生最後のテストだから

今度こそ頑張ってみよう」

と思い先生に

「点数を上げるにはどうすればいいですか？」

と聞きに行ったそうです

すると先生から

「授業で扱った問題を1問でもいいから

必ず毎日問題を解きなさい」

と言われたそうです

先生は生徒が「理解できる」

ように授業を進めています

この段階ではまだ「知識を持っているだけ」

にすぎないのです

その知識を実際に「やってみる」ことで

問題が「解ける」になるのです

例えば

自転車に乗れるようになるには

バランスを取りながらペダルを漕がなくてはいけませんよね？

最初は大人や周りの友達が

自転車に乗っているのを見て

自転車の乗り方を「理解」すると思います

でもいざ「やってみる」となかなか上手くはいきませんよね

上手くできなかったところを改善しながら何度もやっていくうちに

「乗れる」ようになりませんか？？

勉強も同じです！

数学が苦手な人は

「やってみる」をやってこなかった人が多いと思います

なので是非「復習」することで

問題が「解ける」楽しさを感じてみてください！

数学克服への第一歩です！

数学が苦手な人へ 答えより解き方の方が重要だ！！

「数学が苦手で文系を選びました」

「数学なんて中学からの積み重ねでしょ？？

高校から点数が上がるわけないじゃん・・・」

 

という

数学嫌いな人ほど・・・

解法手順が理解できていません！

これから紹介することを意識するだけで

苦手な数学でも

テストで点数が取れるようになります！

 

例えば

ｘ²－３ｘ－４＝０を解きなさい。

という問題が出されたとき

ｘ²－３ｘ－４＝０

(ｘ－４)(ｘ＋１)＝０

よってｘ＝４、－１

と解くことができます。

この問題なら数学が苦手な人でも

解ける人はたくさんいると思います。

しかし、数学が苦手な人に

「(ｘ－４)(ｘ＋１)＝０からなんで

ｘ＝４、－１

の答えが出せるの？」

と聞くと

「そういうものでしょ」

とか

「４と１がで出るじゃん」

というあいまいな答えで、

理論の本質をしっかり理解できていないのです！

 

 

理論の本質を説明する前に

１×０の答えはいくつだと思いますか？？

正解は「０」です！

つまり掛け算の答えを「０」にしたいなら

「０」をかけたらよいのです！

 

話を元に戻すと

(ｘ－４)(ｘ＋１)＝０

の式は

1．ｘ－４の部分を「０」にする

2．ｘ＋１の部分を「０」にする

3．ｘ－４、ｘ＋１両方を「０」にする

の３パターンあります！

そして、それぞれを数学的に置き換えると

1．ｘ－４＝０

2．ｘ＋１＝０

3．ｘ－４＝０、ｘ＋１＝０

そしてこの３パターンで求めたｘというのが

掛け算の答えを「０」にする数なのです！

この式の本質を理解するようになるには

「細かく式を書く」

です。

つまり、

ｘ²－３ｘ－４＝０

(ｘ－４)(ｘ＋１)＝０

ｘ－４＝０

ｘ＝４

ｘ＋１＝０

ｘ＝－１

よってｘ＝４、－１

と書くのです！

そうすることで、後から復習するときにも

式の意味を理解しやすいですし

何より

友達に説明することだってできちゃいます！

 

書く量が多くなるので

「めんどくさい」

と思う人がいるとは思いますが

数学が得意になれば

細かい式はいらなくなります！

参考書の答えだってそうじゃないですか？

あれは数学が得意な人が作っているから

式が細かくないのです！

なので、「数学は苦手だ」

と思う人ほど、細かく式を書いた方がいいです！

数学を克服する第一歩です！