特性方程式 an+1とanを同じαで置く理由

特性方程式を勉強していると

なんでa_n+1とa_nは全く違くのに、同じ「α」で置くの？

と疑問に思ったことはありませんか？

「確かに、同じαで置けば答えは出るけど・・・」

と思っている人は多いはずです！！

実際、私もその中の一人でした笑

そんな私が特性方程式の「なんで？」を解決した話を紹介します！

疑問が晴れると勉強がとーーってもはかどります！

 

結論からお話ししますと・・・

実は「結果論」なんです！

例えば

 a_n+1＝３a_n－２

という式があるとします

この式の３＝ｐ、－２＝ｑとすると

a_n+1＝ｐa_n＋ｑ・・・①

という式に変換することができます

また

 a_n+1＝３a_n－２の右辺を「３」でくくると

 a_n+1＝３（a_n－１）＋１

 a_n+1－１＝３（a_n－１）・・・②

という式ができます

②の式の３＝ｐ、１＝αとすると

 a_n+1－α＝ｐ（a_n－α）

移項や展開をして式を整えると

 a_n+1＝ｐa_n－ｐα＋α

 a_n+1＝ｐa_n＋（－ｐα＋α）・・・③

という式に変換することができます

①のa_n+1＝ｐa_n＋ｑと、③の a_n+1＝ｐa_n＋（－ｐα＋α）の式はどちらも

「a_n+1＝３a_n－２」の式からｐやαを使って変換しているだけなので、同じ式なのが分かりますか？？

①と③を見比べると

a_n+1＝ｐa_n＋ｑ・・・①

 a_n+1＝ｐa_n＋（－ｐα＋α）・・・③

となるため

ｑ＝－ｐα＋α・・・③

という式が作れるのです！

そして③の式を整理すると

α＝ｐα＋ｑ・・・④

という式が作れます

ここで①と④の式を見比べてみると

a_n+1＝ｐa_n＋ｑ・・・①

α＝ｐα＋ｑ・・・④

と教科書に載っている公式と同じ形が導き出されるのです！

つまり

• a_n+1＝ｐa_n＋ｑの右辺を「ｐ」でくくってわかりやすい形にしよう！

a_n+1＝３a_n－２でいう

• a_n+1＝３a_n－２の右辺を「３」でくくってわかりやすい形にしよう！

とした結果・・・

偶然a_n+1とa_nが一致したから、「a_n+1＝α、a_n＝α」と置くことができるんです！！

 

「なるほど！！」と思いませんでしたか？？

「理解したぞ！」という方は、今から特性方程式の問題を解いてみてください！

前とは違う視点から問題が解けるはずです

そして同じ疑問を持っている友達に是非教えてみてください！

教えることであなたの理解度もぐーんと深まります！

数学克服への第一歩です！！